Quelques matrices particulières en fonction de leur contenu

Définition  Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée qui a tous ses coefficients nuls sauf éventuellement ceux qui sont en position  \(a_{kk}\) (le numéro de ligne et le numéro de colonne sont égaux). On peut la noter simplement  \(diag~(d_1~;d_2~;\ldots;d_n)\) ; il n’y a pas d’ambiguïté, tous les coefficients « non diagonaux » sont nuls.

Exemple

\(D= \begin{pmatrix} -6 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\0 & 0&2 \end{pmatrix}\) est une matrice diagonale qu’on peut aussi écrire \(D = \text {diag}~ (−6~ ; 1~ ; 2)\) .

Remarque

Quand nous aborderons un peu plus tard la multiplication des matrices, nous verrons qu'il est aisé de multiplier par elle-même une matrice diagonale et donc qu'il est aisé de l'élever à n'importe quelle puissance.

Définition   Matrice identité

On appelle matrice identité d’ordre \(n\) , notée \(I_n\) , la matrice diagonale (donc carrée !) qui a  \(n\) lignes et  \(n\) colonnes et dont tous les coefficients diagonaux sont des \(1\) .

Exemples

Pour la dimension \(2\times2\) , la matrice identité se note  `I_2`  et vaut  \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) .
\(I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0&0 \\0 &1 &0\\0&0&1 \end{pmatrix} =\text {diag}~(1~; 1~; 1)\)

Remarque

Nous verrons que la matrice identité d’ordre \(n\)  joue, pour les matrices carrées d’ordre \(n\) , un rôle analogue à celui du nombre \(1\) pour les nombres entiers relatifs, rationnels, réels ou complexes, à savoir celui d'élément neutre pour la multiplication.

Définition   Matrice nulle

On appelle matrice nulle d’ordre \(m\times n\) , la matrice  \(O_{m,n}\) qui a  \(m\) lignes et  \(n\) colonnes et dont tous les coefficients sont des \(0\) .

Exemple

Ainsi la matrice nulle d’ordre  \(3\times 3\) est  \(\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\) .
Si \(m = n\) , on appelle cette matrice \(0_n\) .

Remarque

Nous verrons que la matrice nulle d’ordre  \(n\) joue, pour les matrices carrées d’ordre \(n\) , un rôle analogue à celui du nombre  \(0\) pour les nombres entiers relatifs, rationnels, réels ou complexes, à savoir celui d'élément absorbant pour la multiplication.