Quelques matrices particulières en fonction de leur contenu

Définition  Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée qui a tous ses coefficients nuls sauf éventuellement ceux qui sont en position  $a_{kk}$ (le numéro de ligne et le numéro de colonne sont égaux). On peut la noter simplement  $diag(d_1;d_2;\dots ;d_n)$ ; il n’y a pas d’ambiguïté, tous les coefficients « non diagonaux » sont nuls.

Exemple

$D=\left(\begin{array}{ccc}-6& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ est une matrice diagonale qu’on peut aussi écrire $D=\text{diag}(-6;1;2)$ .

Remarque

Quand nous aborderons un peu plus tard la multiplication des matrices, nous verrons qu'il est aisé de multiplier par elle-même une matrice diagonale et donc qu'il est aisé de l'élever à n'importe quelle puissance.

Définition   Matrice identité

On appelle matrice identité d’ordre $n$ , notée $I_n$ , la matrice diagonale (donc carrée !) qui a  $n$ lignes et  $n$ colonnes et dont tous les coefficients diagonaux sont des $1$ .

Exemples

Pour la dimension $2\times 2$ , la matrice identité se note  $I_2$  et vaut  $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ .
$I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\text{diag}(1;1;1)$

Remarque

Nous verrons que la matrice identité d’ordre $n$  joue, pour les matrices carrées d’ordre $n$ , un rôle analogue à celui du nombre $1$ pour les nombres entiers relatifs, rationnels, réels ou complexes, à savoir celui d'élément neutre pour la multiplication.

Définition   Matrice nulle

On appelle matrice nulle d’ordre $m\times n$ , la matrice  $O_{m,n}$ qui a  $m$ lignes et  $n$ colonnes et dont tous les coefficients sont des $0$ .

Exemple

Ainsi la matrice nulle d’ordre  $3\times 3$ est  $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ .
Si $m=n$ , on appelle cette matrice $0_n$ .

Remarque

Nous verrons que la matrice nulle d’ordre  $n$ joue, pour les matrices carrées d’ordre $n$ , un rôle analogue à celui du nombre  $0$ pour les nombres entiers relatifs, rationnels, réels ou complexes, à savoir celui d'élément absorbant pour la multiplication.